Wenn du innerhalb Deutschlands umziehst, keine Leistungen empfängst und dein Aufenthaltstitel keine Einschränkungen wie zum Beispiel eine Wohnsitzauflage enthält, kannst du einfach umziehen und musst die Leipziger Behörden nicht informieren.
Du musst nur daran denken, dass es in Deutschland verpflichtend ist, sich binnen zwei Wochen beim neuen Einwohnermeldeamt vorzustellen. Das geht in jedem Bürgerbüro deines neuen Wohnortes. Dort legst du den neuen Mietvertrag und die Wohnungsgeberbestätigung sowie deinen Ausweis vor, und schon bist du an dem neuen Ort registriert.
Wenn du jedoch Leistungen empfängst und den Zuständigkeitsbereich der Behörde verlässt, von der du Leistungen erhältst, musst du bei der entsprechenden Behörde (zum Beispiel Jobcenter oder Sozialamt) einen Antrag auf Umzug und Ummeldung stellen. Momentan geht das formlos per E-Mail an die jeweiligen Sachbearbeiter*innen. Die wesentlichen Informationen werden dann von der Behörde in deinem neuen Wohnort an die ehemalig zuständige Behörde übermittelt. Dieses vereinfachte Verfahren wird sich wahrscheinlich bald wieder ändern. Darum ist es immer gut, ein solches Vorhaben mit deinem/deiner Sachbearbeiter*in persönlich zu besprechen.